650。 2键键盘

难度：中等

主题：数学，动态规划

记事本的屏幕上只有一个字符“a”。每一步您都可以在此记事本上执行以下两个操作之一：

• 全部复制：您可以复制屏幕上出现的所有字符（不允许部分复制）。
• 粘贴：可以粘贴上次复制的字符。

给定一个整数n，返回在屏幕上精确出现n次字符“a”的最少操作次数.

示例1：

• 输入：n = 3
• 输出： 3
• 说明： 一开始，我们有一个字符“a”。
  • 第1步，我们使用copy all操作。
  • 第2步，我们使用粘贴操作得到'aa'。
  • 第3步，我们使用粘贴操作得到'aaa'。

示例2：

• 输入：n = 1
• 输出： 0

示例3：

• 输入：n = 10
• 输出：7

示例2：

• 输入：n = 24
• 输出： 9

限制：

• 1

提示：

1. 如果n = 3，最后一步剪贴板中可能有多少个字符？ n = 7？ n = 10？ n = 24？

解决方案：

我们需要找到最少的操作次数才能在屏幕上精确显示 n 个字符“a”。我们将使用动态编程方法来实现这一点。

1. 理解问题：

   • 我们从屏幕上的一个“a”开始。
   • 我们可以“全部复制”（复制当前屏幕内容）或“粘贴”（粘贴上次复制的内容）。
   • 我们需要确定屏幕上正好有n个字符“a”所需的最少操作。

2. 动态规划方法：

   • 使用动态编程（dp）数组 dp，其中 dp[i] 表示在屏幕上精确获取 i 个字符所需的最少操作数。
   • 初始化 dp[1] = 0，因为需要 0 次操作才能在屏幕上显示一个“a”。
   • 对于从2到n的每个字符i，通过检查i的每个除数来计算最少的操作。如果 i 能被 d 整除，则：
     • 到达i所需的运算次数是到达d所需的运算加上d相乘得到i所需的运算之和。

3. 解决步骤：

   • 用inf（或一个大数字）初始化一个dp数组，除了dp[1]之外的所有值。
   • 对于从 2 到 n 的每个 i，迭代 i 的可能约数，并根据通过复制和粘贴达到 i 所需的操作更新 dp[i]。

让我们用 php 实现这个解决方案：650。 2键键盘

<?php // Example usage
echo minOperations(3); // Output: 3
echo minOperations(1); // Output: 0
echo minOperations(10) . "n"; // Output: 7
echo minOperations(24) . "n"; // Output: 9
?>

解释：

• 初始化： dp 初始化为一个很大的数字（php_int_max），表示最初不可达的状态。
• 除数检查：对于每个数字i，检查所有除数d。通过考虑到达 d 所需的操作，然后乘以得到 i 来更新 dp[i]。
• 输出：结果是dp[n]的值，它给出了在屏幕上精确获取n个字符所需的最少操作。

这种方法确保我们针对给定的约束有效地计算最少的操作。

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